Вывод формул произведения тригонометрических функций. Урок "преобразование произведений тригонометрических функций в суммы"

Данный видеоурок составлен для учеников 10 класса. С помощью нее они смогут изучить тему «Преобразования произведений тригонометрических выражений в суммы». Сопровождается обучающий материал спокойным мужским голосом. С помощью нее можно провести интересный и познавательный урок в школе. Благодаря иллюстрациям и определениям, которые выводятся понятным текстом на экран, школьники смогут быстрее и эффективнее понять данную тему.

Несмотря на то, что тригонометрия, как наука, появилась достаточно давно, она не утратила свою актуальность и по сей день. В различных науках появляются задачи, при решениях которых школьникам придется столкнуться с данной областью. По этой причине, они должны уметь справляться с примерами различной сложности, рассматривать функции, содержащие синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы и т.д.

Так как тригонометрия содержит в себе огромное количество формул, без которых упрощения того или иного выражения заняло бы огромное количество времени. Поэтому очень важным является запоминание и понимание этих формул. Если понять способ их выведения, можно с легкостью их запомнить и применять на практике. Для того чтобы они остались в памяти на долгое время, необходимо укрепить их на практике. Поэтому, необходимо учителям задавать на дом большое количество тригонометрических выражений и уравнений школьникам.

Данный видеоурок составлен профессионалами. Он имеет последовательную структуру, нет никакой лишней и ненужной информации, которая отклоняется от учебного плана.

Школьникам уже известно, как необходимо преобразовывать тригонометрические уравнения суммы в произведение. Как же выполняться при необходимости обратный процесс? Иногда для упрощения того или иного выражения это будет являться необходимостью.

Начинается рассмотрения с приведения примера. Записывается произведения синуса некоторого tна косинус такого же значения. Преобразовывается данное выражение через дробь, где в числителе мы видим сумму синуса суммы аргументов и разности, деленную на 2.

Аналогичным образом преобразовывается произведение синус некоторого s на синус t.

Для того чтобы закрепить данные выражения практикой предлагается решить некоторые примеры. В первом из них предлагается найти числовой ответ для выражения, представляющее собой произведение синуса 2х на косинус 9х. При решении данного примера используется ранее изученная формула. На экране выводится подробное решение примера, также показывается, какая именно формула используется.

Далее рассматривается еще один пример, где предлагается преобразовать произведение в сумму. С правой стороны выводятся все выкладки и объяснения. Понять, как решается этот пример не так сложно, ведь диктор все подробно комментирует.

Третий пример предлагает упросить выражение, которое состоит из произведения трех синусов некоторых градусных величин. При упрощении используется формула преобразования произведения синусов в сумму. При решении данного примера обращается внимание на то, что функция косинуса является четной функцией. Таким образом, правильно определяются знаки. Выводится ответ. Решение достаточно объемное, однако, если пошагово его рассмотреть, то ничего непонятного не останется.

Четвертый же пример содержит тригонометрическое уравнение, при решении которого необходимо использовать изученные формулы, как на данном уроке, так и на предыдущих видео.

Как уже было сказано, с помощью данной презентации можно провести интересный урок для десятиклассников. Скачать материал могут и репетиторы и школьники. С помощью него, можно визуально показать ученику пошаговое решение примеров, на подобии которых будут попадаться школьникам, как во время выполнения домашних заданий, так и на самостоятельных и контрольных работах в школе.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Преобразование произведений тригонометрических выражений в суммы

Вам уже известно, что любая математическая формула на практике применяется справа налево и слева направо. Следовательно, применяя формулу в обратном направлении, мы можем произведение тригонометрической функции преобразовать в сумму.

Рассмотрим пример:

из формулы преобразования сумм синусов аргументов ес и тэ в произведениеsin(s +t ) + sin(s - t ) = 2 sins cost

можно получить еще одну формулу:

sins cost = (произведение синуса аргумента эс на косинус аргумента тэ равно полусумме синуса суммы аргументов эс и тэ и синуса разности аргументов эс и тэ, причем разность берется так, что из аргумента, стоящего под знаком синуса, вычитается угол, стоящий под знаком косинуса.)

sin(s + t ) + sin(s - t ) = 2 sin s cos t

sins cost =

Аналогично, из формулы преобразования сумм косинусов аргументов ес и тэ в произведение cos (s +t )+ cos(s - t ) =2 coss cost получим

coss cost = (произведение косинусов аргументов эс и тэ равно полусумме косинуса суммы этих аргументов и косинуса их разности).

И из формулы преобразования разности косинусов аргументов ес и тэ в произведениеcos (s +t ) - cos(s - t ) = - 2sins sint имеем

sins sint = (произведение синусов аргументов эс и тэ равно полуразности косинуса разности этих аргументов и косинуса их суммы).

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1. Преобразовать произведение в сумму sin2х cos9х.

Решение. При решении будем использовать формулу sins cost = , где s= 2х, t=9х. Тогда запишем

sin2хcos 9х = = (учитывая, что

sin (-у) = - sin у, получим ) = (полуразность синуса одиннадцати икс и синуса семи икс).

Ответ: sin2х cos9х=.

ПРИМЕР 2. Преобразовать произведение в сумму cos(2х - у) cos(х + 4у) (произведение косинуса аргумента два икс минус игрек на косинус аргумента икс плюс четыре игрек).

Решение. При решении будем использовать формулу coss cost = , где s= (2х-у), t=(х+4у). Тогда

cos(2х - у) cos(х + 4у) = = раскроем скобки = , произведем вычисления и получим

= (полусумма косинуса аргумента три икс плюс три игрек и косинуса аргумента икс минус пять игрек).

ПРИМЕР 3. Упростить выражение sin20°sin40° sin80°.

Решение. Применим формулу: sins sint = .

sin 20°sin 40° sin 80°= ∙ sin 80°= ∙ sin 80°=

(учтем, что косинус - функция четная, значит,

= ∙ sin 80° Так как cos60°=

= ∙ sin 80°= ∙) ∙ sin 80°=

(заметим, что sin 80°= sin(90° - 10°)= cos10°, значит получим, что)

= ∙) ∙ cos10° = раскроем скобки = ∙ cos10° - ∙ cos10°

(применим формулу coss cost =)

= ∙ - ∙ cos10°= ∙() - ∙ cos10°=

раскроем скобки

(вспомним, что =)

Ответ: sin20°sin40° sin80° = .

ПРИМЕР 4. Решить уравнение 2 sin2х cos9х - sin11х =0.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу

sin s cos t = , гдеs=2x, a t=9x получим:

2 ∙ - sin11х = sin11х = .

Итак, данное уравнение равносильно уравнению = 0(минус синус семи икс равно нулю). Значит, = πn, откуда х = , .

в этом случае координаты ее точек задать рациональными выражениями от переменной t? Ответ на этот вопрос зависит от уравнения кривой. Если в обеих частях уравнения стоят многочлены от x и y степени не выше второй, то задать точки кривой с помощью рациональных функций от одной переменной всегда удается (примеры - в задаче 21.11 ). Если же кривая задана уравнением степени больше 2, то, как правило, задать координаты ее точек рациональными функциями невозможно: так обстоит дело уже для кривой x3 + y3 = 1.

Задача 21.11. Задайте с помощью рациональных функций координаты точек следующих кривых:

а) эллипса с уравнением x2 + 4y2 = 1;

б) гиперболы с уравнением xy = 1;

в) гиперболы с уравнением x2 − y2 = 1.

Указания. б) Если x = t, то y = 1/t. в) Разложите левую часть на множители.

Задача 21.12. а) Укажите пять решений уравнения x2 + y2 = 1 в положительных рациональных числах.

б) Укажите пять решений уравнения a2 + b2 = c2 в натуральных числах.

§ 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение

Напишем одну под другой формулы синуса суммы и синуса разности:

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β.

Сложив эти формулы, получим sin(α+β)+sin(α−β) = 2 sin α cos β, или

sin α cos β = 1 2 (sin(α + β) + sin(α − β)).

Поступая аналогичным образом с формулами косинуса суммы и разности, получим:

cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β; cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sin α sin β,

откуда получаются такие формулы:

cos α cos β = 1 2 (cos(α − β) + cos(α + β))

sin α sin β = 1 2 (cos(α − β) − cos(α + β))

Мы получили формулы, позволяющие переходить от произведения тригонометрических функций к их сумме. Давайте теперь научимся делать переход в другую сторону: от суммы к произведению.

Рассмотрим, например, формулу

2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β).

Обозначим в правой части этой формулы α + β через x, а α − β через y. Складывая и вычитая равенства α + β = x и α − β = y, находим, что α = (x + y)/2, β = (x − y)/2. Подставляя эти выражения в левую часть формулы и читая формулу справа налево, получаем окончательно:

sin x + sin y = 2 sin x + y cosx − y . 2 2

Подставляя в только что полученную формулу −y вместо y, по-

sin x − sin y = 2 sin x − y cosx + y . 2 2

Если обработать формулы для cos α cos β и для sin α sin β так же, как мы это сделали с формулой для sin α cos β, то получится вот что:

(обратите внимание на знак «минус» во второй формуле).

Задача 22.1. Докажите эти формулы.

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение можно получить и геометрически. В самом

С другой стороны, так как OA = OB = 1, параллелограмм OACB является ромбом. Следовательно, OC - биссектриса угла AOB,

в согласии с выведенными нами формулами.

Задача 22.2. Докажите тождества:

а) sin(α + β) sin(α − β) + sin(β + γ) sin(β − γ) +

Sin(γ + α) sin(γ − α) = 0;

б) 4 sin α sin(π/3 − α) sin(π/3 + α) = sin 3α;

в) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α = 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

Задача 22.3. В предположении, что α + β + γ = π, докажите равенства:

в) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Задача 22.4. Пусть в треугольнике против сторон a, b, c лежат соответственно углы α, β, γ. Докажите формулы:

Эти формулы называются формулами Региомонтана, или теоремой тангенсов.

Задача 22.5. а) В предположении, что α + β + γ + δ = π, докажите тождество:

sin α sin γ + sin β sin δ = sin(α + β) sin(β + γ).

б) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что AB·CD+BC·AD = AC·BD (во вписанном четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей - теорема Птолемея).

Формулы, которыми мы занимались в этом параграфе, применяются в радиотехнике. Пусть нам надо передать по радио голос диктора частотой, скажем, 300 . На таких низких частотах вести радиопередачу невозможно: частоты радиоволн, применяемых для радиовещания, могут измеряться миллионами. Волны

таких частот используют так. Пока диктор молчит, в эфир идут только радиоволны высокой частоты ω (несущая частота - см. график на рис. 22.2 а).

Никакой информации с этим сигналом не передается. Пусть теперь диктор начал издавать звуки с частотой η (η много меньше, чем ω); тогда в эфир идет сигнал u = (A sin ηt) sin ωt. Примерный график его представлен на рис. 22.2 б. Можно сказать, что амплитуда колебаний высокой частоты ω сама претерпевает колебания с низкой частотой η. Как говорят, высокочастотный сигнал модулируется низкочастотным (все сказанное - лишь грубая схема того, что на самом деле происходит в приемнике).

Преобразуем выражение для модулированного сигнала:

u = A sin ηt sin ωt = A 2 cos(ω − η)t −A 2 cos(ω + η)t.

Как видите, наш модулированный сигнал - не что иное, как сумма сигналов с частотами ω + η и ω − η. Так что когда говорят, что радиостанция ведет передачу на частоте, скажем, ω = 10, то надо помнить, что фактически в эфир идут не только радиоволны частоты ω, но и волны всех частот из интервала [ω −η; ω + η] где η - максимальная частота полезного сигнала, передаваемого радиостанцией. Значит, несущие частоты разных радиостанций не могут быть слишком близки друг к другу: если отрезки [ω −η; ω + η] будут перекрываться, то радиостанции будут мешать друг дружке.

Еще одно приложение формул из этого параграфа - вычисление суммы косинусов или синусов чисел, образующих арифме-

тическую прогрессию (в физике такие вычисления используются при исследовании явления дифракции).

Пусть нам надо упростить выражение

cos α + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h).

Для начала решим эту задачу геометрически, а потом покажем, как к ней можно применить наши формулы. Рассмотрим следующие векторы: a0 = (cos α; sin α), a1 = (cos(α + h); sin(α + h)), . . . , a10 = (cos(α + 10h); sin(α + 10h)). Очевидно, искомая сумма - это абсцисса вектора a0 + a1 + . . . + a10 . Найдем эту сумму векторов.

Для этого отложим OA1 = a0 от начала координат, A1 A2 = a1 от точки A1 и т. д. (рис.22.3 ). Тогда a0 + a1 + . . . + a10 = OA11 .

Рис. 22.3. OA1 = a0 , A1 A2 = a1 ,. . . , A10 A11 = a10 .

Чтобы найти координаты вектора OA, найдем его длину и угол наклона к оси абсцисс. Для этого заметим, что каждый из отрезков OA1 , A1 A2 ,. . . имеет длину 1 и повернут относительно предыдущего на один и тот же угол h радиан. Следовательно, точки O, A1 , A2 , . . . , A11 лежат на одной окружности. Ее центр Z является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам OA1 и A1 A2 . Если F Z и GZ - эти перпендикуляры, то F ZG = h, так что F ZA1 = h/2 и радиус окружности R равен F A1 / sin F ZA1 = 1/2 sin(h/2) (напомним, что длины от-

резков OA1 и A1 A2 равны единице). Так как, очевидно, OZA1 = = A1 ZA2 = . . . = A10 ZA11 = h, то OZA11 = 11h, и из равнобедренного треугольника OZA11 имеем

Чтобы найти угол наклона вектора OA11 к оси абсцисс, заме-

тим, что центральный угол A1 ZA11 = 10h, так что вписанный

угол A11 OA1 , опирающийся на дугу A1 A11 , равен 10h/2 = 5h, а A11 OX = A11 OA1 + α = α + 5h. Стало быть,

Сопоставляя две записи для координат вектора OA11 , получаем формулы:

cos α + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h) =

Первая из этих формул - это то, к чему мы стремились, вторая получилась в качестве побочного продукта.

Как видите, вычисления оказались довольно длинными. К тому же читатель-педант может заметить, что чертеж на рис.22.3 получается только для достаточно малых h, а при больших h ломаная OA1 · · · A10 A11 может обойти всю окружность, и не один раз, так что чертеж будет другой. На самом деле наша формула верна при всех α и h (если только знаменатель sin(h/2) не равен нулю; но последнее возможно только если h = 2πn для некоторого целого n, а тогда и без всякой формулы ясно, что сумма равна

− sin α + m −

Подставляя это в нашу формулу, видим, что сумма равна

α + 2

Sin α + 10 + 2

h − sin α + 9 + 2

если раскрыть скобки, то сократятся все слагаемые, за исключе-

(мы преобразовали сумму в произведение). Сокращая двойки в числителе и знаменателе, получаем ту же формулу, что мы нашли геометрически.

Наше второе вычисление короче и проще первого, но менее естественно. Когда мы познакомимся с комплексными числами, мы научимся находить такие суммы наиболее естественным (хотя и не наиболее коротким) способом.

Ключ к успеху при суммировании лежит в нашей способности преобразовывать одну сумму в другую - либо упрощающую исходную, либо приближающую нас к цели. А выучив несколько основных правил преобразования и поупражнявшись в их применении, можно легко овладеть такой способностью.

Пусть К - некоторое конечное множество целых чисел. Суммы по элементам из К можно преобразовывать, исходя из трех простых правил:

Распределительный закон разрешает вводить и выводить постоянные под знак и за знак . Сочетательный закон позволяет разбивать одну сумму на две или объединять две суммы в одну. Переместительный закон гласит, что члены суммы можно переставлять в любом требуемом порядке; здесь - некоторая перестановка множества всех целых чисел. Например, если и если то три этих закона утверждают соответственно, что

Уловку Гаусса из гл. 1 можно рассматривать как одно из применений этих трех основных законов. Предположим, мы хотим

вычислить сумму арифметической прогрессии общего вида

Согласно переместительному закону, заменив к на получим

Два этих уравнения можно сложить, используя сочетательный закон:

А теперь применим распределительный закон и вычислим тривиальную сумму:

Разделив на 2, выясняем, что

Правую часть можно запомнить как среднее первого и последнего членов, а именно как помноженное на число членов, т. е. на

Важно иметь в виду, что функция в общей форме переместительного закона (2.17) считается перестановкой всех целых чисел. Другими словами, для каждого целого должно существовать в точности одно целое к, такое, что . В противном случае переместительный закон может и не выполняться - упр. 3 тому наглядный пример. Преобразования типа с или где с - целая константа, всегда представляют собой перестановки, поэтому с ними все в порядке.

Впрочем, можно слегка ослабить ограничение на перестановку: достаточно всего лишь, чтобы существовало в точности одно целое к, такое, что когда - элемент индексного множества К. Если (т. е. если не принадлежит К), то не существенно, как часто имеет место равенство поскольку подобное к не участвует в сумме. Так, к примеру, можно утверждать, что

ибо имеется в точности одно к, такое, что когда - четное.

Нотация Айверсона, позволяющая получать 0 или 1 в качестве значений логических выражений внутри некоторой формулы, может быть использована вкупе с распределительным, сочетательным и переместительным законами для выявления дополнительных свойств сумм. Вот, к примеру, важное правило объединения различных множеств индексов: если - некоторые множества целых чисел, то

Это вытекает из общих формул

Обычно используется правило (2.20) либо для объединения двух почти непересекающихся индексных множеств, как в случае

либо для выделения отдельного члена суммы, как в случае

Подобная операция выделения члена составляет основу метода приведения, зачастую позволяющего вычислить ту или иную сумму в замкнутой форме. Суть этого метода заключается в том, чтобы начать с подлежащей вычислению суммы и обозначить ее

(Обозначай и властвуй.) Затем мы переписываем двумя способами, выделяя как последний, так и первый члены:

Теперь можно заняться последней суммой и попытаться выразить ее через Если попытка окажется удачной, мы получим уравнение, решением которого и будет искомая сумма.

Воспользуемся, к примеру, этим подходом для нахождения суммы геометрической прогрессии общего вида

В соответствии с общей схемой приведения (2.24) сумма переписывается в виде

а сумма в правой части равняется распределительному закону. Таким образом, и, разрешая это уравнение относительно получаем

(При х = 1 данная сумма, разумеется, равна просто Правую часть этой формулы можно запомнить как разность первого входящего и первого не входящего в сумму членов, деленную на разность 1 и знаменателя прогрессии.

Все это было довольно простым делом, поэтому давайтека испытаем метод приведения на несколько более трудной сумме,