Квадратные уравнения теорема виета. Теорема виета, обратная формула виета и примеры с решением для чайников

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны и, соответственно, .

Допустим у нас есть уравнение: . У этого уравнения есть такие корни: и . Докажем, что , .

По формулам корней квадратного уравнения:

1. Найдём сумму корней:

Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:

= .

Шаг 1 . Приводим дроби к общему знаменателю, получается:

= = .

Шаг 2 . У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:

Сокращаем дробь на 2 и получаем:

Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.

2. Найдём произведение корней:

= = = = = .

Докажем это уравнение:

Шаг 1 . Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:

Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:

= .

Шаг 3 . Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем , тогда получается:

= .

Шаг 4 . Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:

Шаг 5 . Сокращаем «4a» и получаем .

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа и такие:

И , тогда они и есть корнями квадратного уравнения .

Доказательство обратной теоремы Виета

Шаг 1. Подставим в уравнение выражения для его коэффициентов:

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

Шаг 3 . Найдём Корни уравнения , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

Или . Откуда и получается: или .

Примеры с решениями по теореме Виета

Пример 1

Задание

Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения , не находя корней уравнения.

Решение

Шаг 1 . Вспомним формулу дискриминанта . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, , – это заменяет , а . Отсюда следует:

Получается:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение .

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

Ответ

7; 12; 25.

Пример 2

Задание

Решите уравнение . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

Решение

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

Ответ

И Пример 4

Задание

Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:

Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.

Сумма корней нового уравнения будет равна:

А произведение .

По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:

Ответ

Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше:

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле свободный член – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.

А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.

Полезные источники:

Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300

Теорема Виета, обратная формула Виета и примеры с решением для чайников обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру

В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.

В этой теме мы приведем саму теорему Виета и ее доказательство для квадратного уравнения, теорему, обратную теореме Виета, разберем ряд примеров решения задач. Особое внимание в материале мы уделим рассмотрению формул Виета, которые задают связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.

Формулировка и доказательство теоремы Виета

Формула корней квадратного уравнения a · x 2 + b · x + c = 0 вида x 1 = - b + D 2 · a , x 2 = - b - D 2 · a , где D = b 2 − 4 · a · c , устанавливает соотношения x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a . Это подтверждает и теорема Виета.

Теорема 1

В квадратном уравнении a · x 2 + b · x + c = 0 , где x 1 и x 2 – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов b и a , которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов c и a , т. е. x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Доказательство 1

Предлагаем вам следующую схему проведения доказательства: возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны - b a и c a соответственно.

Составим сумму корней x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a . Приведем дроби к общему знаменателю - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Сократим дробь на: 2 - b a = - b a .

Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.

Теперь давайте перейдем ко второму соотношению.

Для этого нам необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a .

Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 · a · c отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить b 2 − 4 · a · c:

b 2 - D 4 · a 2 = b 2 - (b 2 - 4 · a · c) 4 · a 2

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 4 · a · c 4 · a 2 . Если сократить ее на 4 · a , то остается c a . Так мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:

x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a , x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

При дискриминанте квадратного уравнения равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, мы можем предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при D = 0 корень квадратного уравнения равен: - b 2 · a , тогда x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a и x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , а так как D = 0 , то есть, b 2 - 4 · a · c = 0 , откуда b 2 = 4 · a · c , то b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида x 2 + p · x + q = 0 , где старший коэффициент a равен 1 . В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число a , отличное от нуля.

Приведем еще одну формулировку теоремы Виета.

Теорема 2

Сумма корней в приведенном квадратном уравнении x 2 + p · x + q = 0 будет равна коэффициенту при x , который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q .

Теорема, обратная теореме Виета

Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней x 1 и x 2 приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 будут справедливы соотношения x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q . Из этих соотношений x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q следует, что x 1 и x 2 – это корни квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 . Так мы приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.

Предлагаем теперь оформить это утверждение как теорему и провести ее доказательство.

Теорема 3

Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 + x 2 = − p и x 1 · x 2 = q , то x 1 и x 2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 .

Доказательство 2

Замена коэффициентов p и q на их выражение через x 1 и x 2 позволяет преобразовать уравнение x 2 + p · x + q = 0 в равносильное ему .

Если в полученное уравнение подставить число x 1 вместо x , то мы получим равенство x 1 2 − (x 1 + x 2) · x 1 + x 1 · x 2 = 0 . Это равенство при любых x 1 и x 2 превращается в верное числовое равенство 0 = 0 , так как x 1 2 − (x 1 + x 2) · x 1 + x 1 · x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 · x 1 + x 1 · x 2 = 0 . Это значит, что x 1 – корень уравнения x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0 , и что x 1 также является корнем равносильного ему уравнения x 2 + p · x + q = 0 .

Подстановка в уравнение x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0 числа x 2 вместо x позволяет получить равенство x 2 2 − (x 1 + x 2) · x 2 + x 1 · x 2 = 0 . Это равенство можно считать верным, так как x 2 2 − (x 1 + x 2) · x 2 + x 1 · x 2 = x 2 2 − x 1 · x 2 − x 2 2 + x 1 · x 2 = 0 . Получается, что x 2 является корнем уравнения x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0 , а значит, и уравнения x 2 + p · x + q = 0 .

Теорема, обратная теореме Виета, доказана.

Примеры использования теоремы Виета

Давайте теперь приступим к разбору наиболее типичных примеров по теме. Начнем с разбора задач, которые требуют применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее можно применять для проверки чисел, полученных в ходе вычислений, на предмет того, являются ли они корнями заданного квадратного уравнения. Для этого необходимо вычислить их сумму и разность, а затем проверить справедливость соотношений x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = a c .

Выполнение обоих соотношений свидетельствует о том, что числа, полученные в ходе вычислений, являются корнями уравнения. Если же мы видим, что хотя бы одно из условий не выполняется, то данные числа не могут быть корнями квадратного уравнения, данного в условии задачи.

Пример 1

Какая из пар чисел 1) x 1 = − 5 , x 2 = 3 , или 2) x 1 = 1 - 3 , x 2 = 3 + 3 , или 3) x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2 является парой корней квадратного уравнения 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0 ?

Решение

Найдем коэффициенты квадратного уравнения 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0 . Это a = 4 , b = − 16 , c = 9 . В соответствии с теоремой Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна - b a , то есть, 16 4 = 4 , а произведение корней должно быть равно c a , то есть, 9 4 .

Проверим полученные числа, вычислив сумму и произведение чисел из трех заданных пар и сравнив их с полученными значениями.

В первом случае x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2 . Это значение отлично от 4 , следовательно, проверку можно не продолжать. Согласно теореме, обратной теореме Виета, можно сразу сделать вывод о том, что первая пара чисел не является корнями данного квадратного уравнения.

Во втором случае x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4 . Мы видим, что первое условие выполняется. А вот второе условие нет: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3 . Значение, которое мы получили, отлично от 9 4 . Это значит, что вторая пара чисел не является корнями квадратного уравнения.

Перейдем к рассмотрению третьей пары. Здесь x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 и x 1 · x 2 = 2 + 7 2 · 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Выполняются оба условия, а это значит, что x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения.

Ответ: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2

Мы также можем использовать теорему, обратную теореме Виета, для подбора корней квадратного уравнения. Наиболее простой способ – это подбор целых корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Можно рассматривать и другие варианты. Но это может существенно затруднить проведение вычислений.

Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.

Пример 2

В качестве примера используем квадратное уравнение x 2 − 5 · x + 6 = 0 . Числа x 1 и x 2 могут быть корнями этого уравнения в том случае, если выполняются два равенства x 1 + x 2 = 5 и x 1 · x 2 = 6 . Подберем такие числа. Это числа 2 и 3 , так как 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6 . Получается, что 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.

Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для нахождения второго корня, когда первый известен или очевиден. Для этого мы можем использовать соотношения x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Пример 3

Рассмотрим квадратное уравнение 512 · x 2 − 509 · x − 3 = 0 . Необходимо найти корни данного уравнения.

Решение

Первым корнем уравнения является 1 , так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Получается, что x 1 = 1 .

Теперь найдем второй корень. Для этого можно использовать соотношение x 1 · x 2 = c a . Получается, что 1 · x 2 = − 3 512 , откуда x 2 = - 3 512 .

Ответ: корни заданного в условии задачи квадратного уравнения 1 и - 3 512 .

Подбирать корни, используя теорему, обратную теореме Виета, можно лишь в простых случаях. В остальных случаях лучше проводить поиск с использованием формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.

Благодаря теореме, обратной теореме Виета, мы также можем составлять квадратные уравнения по имеющимся корням x 1 и x 2 . Для этого нам необходимо вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.

Пример 4

Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа − 11 и 23 .

Решение

Примем, что x 1 = − 11 и x 2 = 23 . Сумма и произведение данных чисел будут равны: x 1 + x 2 = 12 и x 1 · x 2 = − 253 . Это значит, что второй коэффициент - 12 , свободный член − 253.

Составляем уравнение: x 2 − 12 · x − 253 = 0 .

Ответ : x 2 − 12 · x − 253 = 0 .

Мы можем использовать теорему Виета для решения заданий, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. Связь между теоремой Виета связана со знаками корней приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 следующим образом:

если квадратное уравнение имеет действительные корни и если свободный член q является положительным числом, то эти корни будут иметь одинаковый знак « + » или « - » ;
если квадратное уравнение имеет корни и если свободный член q является отрицательным числом, то один корень будет « + » , а второй « - » .

Оба этих утверждения являются следствием формулы x 1 · x 2 = q и правила умножения положительных и отрицательных чисел, а также чисел с разными знаками.

Пример 5

Являются ли корни квадратного уравнения x 2 − 64 · x − 21 = 0 положительными?

Решение

По теореме Виета корни данного уравнения не могут быть оба положительными, так как для них должно выполняться равенство x 1 · x 2 = − 21 . Это невозможно при положительных x 1 и x 2 .

Ответ: Нет

Пример 6

При каких значениях параметра r квадратное уравнение x 2 + (r + 2) · x + r − 1 = 0 будет иметь два действительных корня с разными знаками.

Решение

Начнем с того, что найдем значения каких r , при которых в уравнении будет два корня. Найдем дискриминант и посмотрим, при каких r он будет принимать положительные значения. D = (r + 2) 2 − 4 · 1 · (r − 1) = r 2 + 4 · r + 4 − 4 · r + 4 = r 2 + 8 . Значение выражения r 2 + 8 положительно при любых действительных r , следовательно, дискриминант будет больше нуля при любых действительных r . Это значит, что исходное квадратное уравнение будет иметь два корня при любых действительных значениях параметра r .

Теперь посмотрим, когда корни будут иметь разные знаки. Это возможно в том случае, если их произведение будет отрицательным. Согласно теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Значит, правильным решением будут те значения r , при которых свободный член r − 1 отрицателен. Решим линейное неравенство r − 1 < 0 , получаем r < 1 .

Ответ: при r < 1 .

Формулы Виета

Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.

Для алгебраического уравнения степени n вида a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n = 0 считается, что уравнение имеет n действительных корней x 1 , x 2 , … , x n , среди которых могут быть совпадающие:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Определение 1

Получить формулы Виета нам помогают:

теорема о разложении многочлена на линейные множители;
определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.

Так, многочлен a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n и его разложение на линейные множители вида a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) равны.

Если мы раскрываем скобки в последнем произведении и приравниваем соответствующие коэффициенты, то получаем формулы Виета. Приняв n = 2 , мы можем получить формулу Виета для квадратного уравнения: x 1 + x 2 = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 = a 2 a 0 .

Определение 2

Формула Виета для кубического уравнения:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + x 2 · x 3 = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 = - a 3 a 0

Левая часть записи формул Виета содержит так называемые элементарные симметрические многочлены.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Любое полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 можно привести к виду x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0 , если предварительно разделить каждое слагаемое на коэффициент a перед x 2 . А если ввести новые обозначения (b/a) = p и (c/a) = q , то будем иметь уравнение x 2 + px + q = 0 , которое в математике называется приведенным квадратным уравнением .

Корни приведенного квадратного уравнения и коэффициенты p и q связаны между собой. Это подтверждается теоремой Виета , названной так в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в конце XVI века.

Теорема . Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену q .

Запишем данные соотношения в следующем виде:

Пусть x 1 и x 2 различные корни приведенного уравнения x 2 + px + q = 0 . Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 · x 2 = q .

Для доказательства подставим каждый из корней x 1 и x 2 в уравнение. Получаем два верных равенства:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Вычтем из первого равенства второе. Получим:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Первые два слагаемых раскладываем по формуле разности квадратов:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

По условию корни x 1 и x 2 различные. Поэтому мы можем сократить равенство на (x 1 – x 2) ≠ 0 и выразить p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Первое равенство доказано.

Для доказательства второго равенства подставим в первое уравнение

x 1 2 + px 1 + q = 0 вместо коэффициента p равное ему число – (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Преобразовав левую часть уравнения, получаем:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, что и требовалось доказать.

Теорема Виета хороша тем, что, даже не зная корней квадратного уравнения, мы можем вычислить их сумму и произведение .

Теорема Виета помогает определять целые корни приведенного квадратного уравнения. Но у многих учащихся это вызывает затруднения из-за того, что они не знают четкого алгоритма действия, особенно если корни уравнения имеют разные знаки.

Итак, приведенное квадратное уравнение имеет вид x 2 + px + q = 0, где x 1 и x 2 его корни. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 · x 2 = q.

Можно сделать следующий вывод .

Если в уравнении перед последним членом стоит знак «минус», то корни x 1 и x 2 имеют различные знаки. Кроме того, знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.

Исходя из того, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, а перед полученным результатом ставится знак большего по модулю числа, следует действовать следующим образом:

определить такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p;
поставить перед меньшим из полученных чисел знак второго коэффициента уравнения; второй корень будет иметь противоположный знак.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1 .

Решить уравнение x 2 – 2x – 15 = 0.

Решение .

Попробуем решить данное уравнение с помощью предложенных выше правил. Тогда можно точно сказать, что данное уравнение будет иметь два различных корня, т.к. D = b 2 – 4ac= 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это будут числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак «минус», т.е. знак второго коэффициента уравнения. Таким образом, получим корни уравнения x 1 = -3 и x 2 = 5.

Ответ. x 1 = -3 и x 2 = 5.

Пример 2 .

Решить уравнение x 2 + 5x – 6 = 0.

Решение .

Проверим, имеет ли данное уравнение корни. Для этого найдем дискриминант:

D = b 2 – 4ac= 25 + 24 = 49 > 0. Уравнение имеет два различных корня.

Возможные множители числа 6 - это 2 и 3, 6 и 1. Разность равна 5 у пары 6 и 1. В этом примере коэффициент второго слагаемого имеет знак «плюс», поэтому и меньшее число будет иметь такой же знак. А вот перед вторым числом будет стоять знак «минус».

Ответ: x 1 = -6 и x 2 = 1.

Теорему Виета можно записать и для полного квадратного уравнения. Так, если квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни x 1 и x 2 , то для них выполняются равенства

x 1 + x 2 = -(b/a) и x 1 · x 2 = (c/a) . Однако применение этой теоремы в полном квадратном уравнении довольно проблематично, т.к. при наличии корней, хотя бы один из них является дробным числом. А работать с подбором дробей достаточно трудно. Но все-таки выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Умножим его левую и правую части на коэффициент a. Уравнение примет вид (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Теперь введем новую переменную, например t = ax.

В этом случае полученное уравнение превратиться в приведенное квадратное уравнение вида t 2 + bt + ac = 0, корни которого t 1 и t 2 (при их наличии) могут быть определены по теореме Виета.

В этом случае корни исходного квадратного уравнения будут

x 1 = (t 1 / a) и x 2 = (t 2 / a).

Пример 3 .

Решить уравнение 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Решение .

Составляем вспомогательное уравнение. Умножим каждое слагаемое уравнения на 15:

15 2 x 2 – 11 · 15x + 15 · 2 = 0.

Делаем замену t = 15x. Имеем:

t 2 – 11t + 30 = 0.

По теореме Виета корнями данного уравнения будут t 1 = 5 и t 2 = 6.

Возвращаемся к замене t = 15x:

5 = 15x или 6 = 15x. Таким образом, x 1 = 5/15 и x 2 = 6/15. Сокращаем и получаем окончательный ответ: x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.

Ответ. x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.

Чтобы освоить решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, учащимся необходимо как можно больше тренироваться. Именно в этом и заключается секрет успеха.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что

то x1 и x2 — корни квадратного уравнения

При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

I. Если q — положительное число,

это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

II. Если q — отрицательное число,

это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по модулю).

II.a. Если -p — положительное число, (то есть p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.

В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко. На мой взгляд, при изучении квадратных уравнений, следует уделить больше времени и внимания применению теоремы Виета (по программе А.Г. Мордковича Алгебра-8, на изучение темы “Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители” запланировано только два часа).

В большинстве учебников алгебры эта теорема формулируется для приведенного квадратного уравнения и гласит, что если уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства , . Затем формулируется утверждение, обратное к теореме Виета, и предлагается ряд примеров для отработки этой темы.

Возьмем конкретные примеры и проследим на них логику решения с помощью теоремы Виета.

Пример 1. Решить уравнение .

Допустим, это уравнение имеет корни, а именно, и . Тогда по теореме Виета одновременно должны выполняться равенства

Обратим внимание, что произведение корней – положительное число. А значит, корни уравнения одного знака. А так как сумма корней также является положительным числом, делаем вывод, что оба корня уравнения – положительные. Вернемся снова к произведению корней. Допустим, что корни уравнения – целые положительные числа. Тогда получить верное первое равенство можно только двумя способами (с точностью до порядка множителей): или . Проверим для предложенных пар чисел выполнимость второго утверждения теоремы Виета: . Таким образом, числа 2 и 3 удовлетворяют обоим равенствам, а значит, и являются корнями заданного уравнения.

Ответ: 2; 3.

Выделим основные этапы рассуждений при решении приведенного квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:

записать утверждение теоремы Виета

(*)

определить знаки корней уравнения (Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа. Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа. Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);
подобрать пары целых чисел, произведение которых дает верное первое равенство в записи (*);
из найденных пар чисел выбрать ту пару, которая при подстановке во второе равенство в записи (*) даст верное равенство;
указать в ответе найденные корни уравнения.

Приведем еще примеры.

Пример 2. Решите уравнение .

Решение.

Пусть и - корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета Заметим, что произведение – положительное, а сумма – отрицательное число. Значит, оба корня – отрицательные числа. Подбираем пары множителей, дающих произведение 10 (-1 и -10; -2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -7. Значит, числа -2 и -5 являются корнями данного уравнения.

Ответ: -2; -5.

Пример 3. Решите уравнение .

Решение.

Пусть и - корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета Заметим, что произведение – отрицательное. Значит, корни – разного знака. Сумма корней – также отрицательное число. Значит, больший по модулю корень – отрицательный. Подбираем пары множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и -5 являются корнями данного уравнения.

Ответ: 2; -5.

Заметим, что теорему Виета в принципе можно сформулировать и для полного квадратного уравнения: если квадратное уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства , . Однако применение этой теоремы довольно проблематично, так как в полном квадратном уравнении по крайней мере один из корней (при их наличии, конечно) является дробным числом. А работать с подбором дробей долго и трудно. Но все-таки выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение . Умножим обе части уравнения на первый коэффициент а и запишем уравнение в виде . Введем новую переменную и получим приведенное квадратное уравнение , корни которого и (при их наличии) могут быть найдены по теореме Виета. Тогда корни исходного уравнения будут . Обратим внимание, что составить вспомогательное приведенное уравнение очень просто: второй коэффициент сохраняется, а третий коэффициент равен произведению ас . При определенном навыке учащиеся сразу составляют вспомогательное уравнение, находят его корни по теореме Виета и указывают корни заданного полного уравнения. Приведем примеры.

Пример 4. Решите уравнение .

Составим вспомогательное уравнение и по теореме Виета найдем его корни . А значит, корни исходного уравнения .

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение .

Вспомогательное уравнение имеет вид . По теореме Виета его корни . Находим корни исходного уравнения .

Ответ: .

И еще один случай, когда применение теоремы Виета позволяет устно найти корни полного квадратного уравнения. Нетрудно доказать, что число 1 является корнем уравнения , тогда и только тогда, когда . Второй корень уравнения находится по теореме Виета и равен . Еще одно утверждение: чтобы число –1 являлось корнем уравнения необходимо и достаточно, чтобы . Тогда второй корень уравнения по теореме Виета равен . Аналогичные утверждения можно сформулировать и для приведенного квадратного уравнения.

Пример 6. Решите уравнение .

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю. Значит, корни уравнения .