А пересекается в объединяется с с. Нахождение пересечения и объединения числовых множеств

Основными операциями, осуществляемыми над множествами, являются сложение (объединение), умножение (пересечение) и вычитание . Эти операции, как мы увидим дальше, не тождественны одноименным операциям, производимым над числами.

Определение : Объединением (или суммой) двух множеств A и B называется множество, содержащее все такие и только такие элементы, которые являются элементами хотя бы одного из этих множеств. Объединение множеств A и B обозначают как A  B.

Это определение означает, что сложение множеств A и B есть объединение всех их элементов в одно множество A  B. Если одни и те же элементы содержатся в обоих множествах, то в объединение эти элементы входят только по одному разу.

Аналогично определяется объединение трёх и более множеств.

Определение : Пересечением (или умножением) двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и множеству В одновременно. Пересечение множеств A и B обозначают как A  B.

Аналогично определяется пересечение трёх и более множеств.

Определение : Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A и которые не принадлежат множеству В. Разность множеств A и B обозначают как A \ B. Операция, при помощи которой находится разность множеств, называется вычитанием.

Если В  А, то разность A \ B называется дополнением множества B до множества A. Если множество B является подмножеством универсального множества U, то дополнение B до U обозначается , то есть= U \ B.

Упражнения :

Рассмотрим три множества N ={0,2,4,5,6,7}, M ={1,3,5,7,9} и P ={1,3,9,11}. Найти

1. A = N  M

   B = N  M

   C = N  P

Ответьте, какими из операций над заданными множествами следует воспользоваться для получения множеств, описанных ниже.

1. Дано: А – множество всех студентов факультета, В – множество студентов, имеющих академические задолженности. Определить С – множество успевающих студентов факультета.

   Дано: А – множество всех отличников факультета, В – множество студентов, не имеющих академических задолженностей, С – множество успевающих студентов, имеющих хотя бы одну тройку. Определить D – множество студентов факультета, успевающих без троек.

   Дано: U – множество всех студентов учебной группы, А - множество студентов этой группы, получивших зачет по физкультуре, В – множество студентов той же группы, успешно сдавших зачет по истории Отечества. Определить С – множество студентов той же учебной группы, преуспевших в обеих дисциплинах, D – множество студентов той же группы, «заваливших» хотя бы один из зачетов.

1. Свойства объединения и пересечения множеств

Из определений объединения и пересечения множеств вытекают свойства этих операций, представленные в виде равенств, справедливых для любых множеств A , B и С .

A  B = B  A - коммутативность объединения;

A  B = B  A - коммутативность пересечения;

A  (B  С ) = (A  B )  С - ассоциативность объединения;

A  (B  С ) = (A  B )  С - ассоциативность пересечения;

A  (B  С ) = (A  B )  (A  С) - дистрибутивность пересечения относительно объединения;

A  (B  С ) = (A  B )  (A  С) - дистрибутивность объединения относительно пересечения;

Законы поглощения:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  U = U

A  U = A

Следует заметить, что разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, то есть A \ B ≠ B \ A и A \ (B \ С ) ≠ (A \ B ) \ С . В этом легко убедиться, построив диаграммы Эйлера - Венна.

1 Пересечение множеств

Пересечением множеств А и В называют множество, в которое входят те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множествам А и В. Обозначение: А ∩ В.

Так любой элемент х из множества А ∩ В обладает свойством

«х € А и х € В», то данное определение пересечения двух множеств можно записать в таком виде: А ∩ В = {х | х€А ^ х€В}.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то эти множества не пересекаются. А ∩ В = Ǿ.

Если же множества имеет хотя бы один общий элемент, то говорят, что множества А и В пересекаются или что пересечение множеств Аи В не пусто.

Операция множеств обладает рядом свойств:

1. Пересечение множеств коммутативно: для любых множеств А и В имеем А∩В = В ∩ А

2. Пересечение множеств ассоциативно: для любых множеств А,В,С имеем

(А∩В)∩С=А∩(В∩С). Это позволяет записывать выражение А∩В∩С без скобок и находить пересечение любого числа множеств.

Сравнивая области заштрихованные дважды на рис, приходим к выводу, что множества (А∩В)∩С и А∩(В∩С) равны.

2. Объединение множеств.

Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначение:A U B.

Пример: А = {m, n, p, k, l} и В = {p, r, s, n} является множество A U B ={m, n, p, k, l, r, s}

На рисунке множество A U B изображено заштрихованной областью.

По определению в объединение множеств Аи В могут входить элементы из А, не принадлежащие множеству В, элементы из В, не принадлежащие А, и элементы, принадлежащие множествам А и В одновременно.

Так как любой элемент х из множества A U B обладает свойством «х€А или х€В», то определение объединения двух множеств можно записать так:

A U B = {х | х € А v x € B}.

Операция объединения множеств обладает такими свойствами:

1. Для любых множеств А и В имеем А U В = В U А (коммутативность).

2. Для любых множеств А,В,С имеем (А U В) U С=А U (В U С). (ассоциативность) Это свойство позволяет писать выражение (А U В) U С без скобок и говорить про объединение любого числа множеств.

В частности, для любого множества А имеем:

Связь между операциями пересечения и объединения множеств отражают свойства дистрибутивности.

4. Для любых множеств А, В, С справедливы равенства:

Свойства дистрибутивности иллюстрируются на диаграммах Эйлера –Венна. на рис приведены диаграммы соответствующие левой и правой части соотношения 4б). На первой диаграмме вертикальной штриховкой отмечено множество А, горизонтальной – множество В∩С. Вся заштрихованная область представляет собой множество AU(B∩C). На второй диаграмме вертикальной штриховкой отмечено множество AUB, горизонтальной – множество AUC. Область заштрихованная дважды, изображает множество (АUB)∩(AUC).

Рассматривая полученные области, приходим к выводу, что множества AU(B∩C) и (АUB)∩(AUC) равны.

Множество - совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита - от A до Z .

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N - множество натуральных чисел

Z - множество целых чисел

Элемент множества - это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 - элемент множества Z .

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество - множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество - множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми .

Подмножество

Подмножество - это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера . Круги Эйлера - это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8} и M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M , значит множество L M . Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :

L ⊂M

Запись L ⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M .

Множества состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6} и M = {4, 6, 2}

так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M .

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств - это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19}, то L ∩M = {3, 11}.

Запись L ∩M читается так: пересечение множеств L и M .

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах .

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19},

то L ∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запись L ∪M читается так: объединение множеств L и M .

При объединении равных множеств, объединение будет равно любому из данным множеств:

если L = M , то L ∪M = L и L ∪M = M .

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".

Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём. Кроме того, на основе теории множества создана концепция реляционных баз данных, а на основе операций над множествами - реляционная алгебра и её операции - используемые в языках запросов к базам данных, в частности, SQL.

Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.

Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).

Код PASCAL

Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.

Какие бывают множества

Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...

Простых чисел

Чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ".

Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:

hleb ∈VETEROK ,

что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:

VETEROK = {hleb , syr , maslo } ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ".

Например, запись

M = {x | x ² - 3x + 2 = 0}

Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?

Операция декартова произведения множеств

Для определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n .

Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный из элементов , взятых именно в этом порядке, обозначается . При этом i я () компонента набора есть .

Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n , i -я компонента которых принадлежит .

Например, если , , ,

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Пример :
Возьмем числа 12 и 18. Найдем их делители, обозначив все множество этих делителей соответственно буквами А и B:
А = {1, 2, 3, 4, 6, 12},
B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие делители: 1, 2, 3, 6. Обозначим их буквой C:
C = {1, 2, 3, 6).

Множество C и является пересечением множеств А и B. Пишут это так:
А ∩ B = C.

Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустое множество .
Пустое множество обозначают знаком Ø, а используют такую запись:

X ∩ Y = Ø.

Объединение двух множеств – это множество, состоящее из всех элементов этих множеств.

Для примера вернемся к числам 12 и 18 и множеству их элементов A и B. Выпишем сначала элементы множества А, затем добавим к ним те элементы множества B, которых нет во множестве А. Мы получим множество элементов, которым обладают А и B в совокупности. Обозначим его буквой D:

D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Множество D и является объединением множеств A и B. Пишется это так:

D = A UB.